UNIDAD 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

4.1 TEORIA PRELIMINAR

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Forma normal:

 

Supondremos que los coeficientes a_ij(t) y las funciones f_i(t) son continuas en un intervalo I. Si todas las f's son cero diremos que el sistema lineal es homogéneo.

Forma matricial

 

Vector solución 

Un vector solución en un intervalo I es cualquier vector columna cuyos elementos son funciones diferenciables que satisfacen el sistema de EDOs en el intervalo I.

Comprueba que en (−¥, ¥)

 Problemas de valor inicial (PVI)

sujeto a :     X(t₀) = X₀ es un PVI.

Existencia de una solución única

Sean las componentes de A(t) y F(t) funciones continuas en un intervalo común I que contiene a t₀. Entonces podemos asegura que existe una solución única de nuestro sistema en I.

Principio de superposición

Sean X₁, X₂,…, X_k un conjunto de soluciones de un sistema homogéneo en I, entonces:

                               X = c₁X₁ + c₂X₂ + … + c_kX_k
es también una solución en I.

también es una solución.

Dependencia e independencia lineal

Sea X₁, X₂, …, X_k un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c₁, c₂, …, c_k, no todas nulas, tales que

                               c₁X₁ + c₂X₂ + … + c_kX_k = 0

Para todo t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean: 

n vectores solución de un sistema homogéneo en el intervalo I. Entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y sólo si, para todo t en el intervalo, el wronskiano: