4.2 Métodos de solución
para sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales
Métodos de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al
igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial
lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea
un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como:
Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de
ecuaciones diferenciales lineales será:
Ahora, la técnica más conveniente para resolver este sistema de ecuaciones
diferenciales lineales es recurrir al método de multiplicación de matrices. La
fórmula para resolverlo está dada de la forma:
Aquí A es la matriz que contiene los términos coeficientes de toda la
ecuación del sistema, C, que es una matriz columna compuesta de elementos no
homogéneos y, finalmente, la matriz X es la que contiene los elementos
desconocidos. Cuando la matriz C es igual a cero, entonces el sistema dado es
un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales.
Todo el mundo está familiarizado con el hecho de que multiplicar unas
cuantas matrices es mucho mejor que solucionar las ecuaciones algebraicas
crípticas para cuatro variables desconocidas. Sin embargo, la técnica anterior
nos da la solución en todo momento. Por lo tanto, tenemos que adoptar algunas
otras técnicas para resolver las ecuaciones.
Dos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se llaman equivalentes en
la situación de que ambos produzcan las mismas soluciones para variables
desconocidas. Sin embargo, esto puede lograrse mediante aplicar algunas
operaciones elementales como la multiplicación con una constante, la
reordenación de las ecuaciones, etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales
lineales dado como,
x + y + z = 0
x – 2y + 2z = 4
x + 2y – z = 2
Las ecuaciones anteriores pueden resolverse mediante aplicar algunas
operaciones elementales sobre las dos últimas ecuaciones y manteniendo la
primera sin alterar. Esto nos ayudará a eliminar una de las variables y el
resto de las ecuaciones pueden resolverse de forma simultánea para dos
variables, lo cual es muy fácil de hacer.
x + y + z = 0
x – 2y + 2z = 4
y – 2z = 2
Ahora resta la dos ecuaciones a partir de la primera como,
x + y + z = 0
- 3y + z = 4
y – 2z = 2
Continuando con el procedimiento, multiplicamos la tercera ecuación con
tres y lo sumamos a la segunda como
x + y + z = 0
- 3y + z = 4
- 5z = 10
Esto nos da el valor de z = −2. Al sustituir este valor en el sistema de
ecuaciones podemos eliminar los términos que contienen z y finalmente, las
ecuaciones han sido reducidas a dos variables únicas. Los valores de las otras
dos variables pueden obtenerse mediante la solución de esas ecuaciones
simultáneamente.
Por lo tanto, el valor de x es 4, y el de y es −2.
Otra técnica popular es la transformar la matriz aumentada AC de manera
talque se convierta en triangular superior. Una vez más esto puede lograrse
mediante realizar las operaciones elementales de transformación en las
ecuaciones del sistema. Después que esto se ha hecho, es posible resolver
fácilmente el sistema para las variables desconocidas.
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