4.3 Aplicaciones

En coordenadas rectangulares el radio de curvatura R de una curva y = f(x) en un punto general de ella esta dado por:

La normal en el punto se traza hacia el eje x. Se ve claramente en las figuras que la normal y el radio de curvatura en un punto cualquiera tiene la misma dirección si y y d²y/dx² tienen signos distintos, y tienen direcciones opuestas si y y d²y/dx² tienen el mismo signo.

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Considerese una esfera, sujeta a un extremo de una cuerda de goma, moviéndose hacia arriba y abajo, a sacudidas.

Si el otro extremo de la cuerda esta fijo y no se aplica a la esfera ninguna fuerza externa para conservar su movimiento una vez iniciado, y si la masa de la cuerda y la resistencia opuesta por el aire son tales que se pueden despreciar, la esfera se moverá con movimiento armonico simple.

X = A cos wt + b sen wt

Donde x es el desplazamiento de la esfera, en el instante t, desde su posicion de reposo o equilibrio.

Para el movimiento armonico simple:

a)      La amplitud o desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio es ya q si dx/dt = 0, tg wt = a/b y x =

b)      El periodo o numero de unidades de tiempo para una oscilación completa es 2¶/w seg. Ya que si t varia en 2¶/w seg los valores de x y dx/dt experimenta un cambio.

c)       La frecuencia o numero del movimiento de oscilaciones por segundos es w/2¶ciclos/seg.

El movimiento es oscilatorio como ante, pero nunca se repite lo mismo. Como el factor de amortiguamiento e^-n disminuye cuando t aumenta, la amplitud de cada oscilación es menor que la de la precedente. La frecuencia es w/2¶ ciclos/seg.

Se presentan otros casos cuando la resistencia que se oponga al movimiento sea suficientemente grande.

Si, además de la resistencia, hay una fuerza externa actuando sobre la esfera, o se aplica un movimiento al sistema completo, se dice que se ha forzado el movimiento de la esfera. Si la función de forzamiento es armonica con periodo 2¶/λ, el  movimiento de la esfera es el resultado de dos movimientos—un movimiento amortiguado libre que se va extinguiendo a medida que el tiempo aumenta y un movimiento armonico simple con el mismo periodo que la función de forzamiento.

VIGAS HORIZONTALES

El problema consiste en determinar la flexion de una viga que soporta una carga dada. Se estudian solamente las vigas que son uniformes, tanto en forma como en material, y es conveniente considerarlas como si estuvieran constituidas por fibras dispuestas longuitudinalmente. En la viga flexada que se muestra en la figura adjunta, las fibras de la mitad superior comprimidas y las de la mitad inferior alargadas; a ambas mitades las separa una superficie cuyas fibras ni están comprimidas ni alargadas. La fibra, que en un principio coincida con el eje horizontal de la viga, esta superficie de separación dispuesta según una curva. A continuación se trata de la obtención de la ecuación de esta curva.

VIBRACION DE UNA CUERDA

Considerese una cuerda de acero atada a un soporte, colgando hacia abajo. Dentro de ciertos limites elásticos la cuerda obedece a la ley de Hooke: si la cuerda es estirada o comprimida, su cambio en longitud será proporcional a la fuerza ejercida sobre la cuerda y, cuando la fuerza se quita, la cuerda retorna a su posición original y su longitud y otras propiedades físicas permanecen invariables. Hay entonces, asociada con cada cuerda, una constante numérica, la razón de la fuerza ejercida al desplazamiento producida por esa fuerza. Si una fuerza de una magnitud Q libras alarga c pies la cuerda, la relación:

Q = kc

Define la constante de la cuerda k en unidades de libras por pies.

Supóngase que un cuerpo B que pesa w libras es atado al extremo libre de la cuerda, y llevado al punto de equilibrio donde permanece en reposo. Inmediatamente que el peso B es sacado del punto de equilibrio E, el movimiento de B estará determinado por una ecuación diferencial y unas condiciones a la frontera asociadas.

Sea t el tiempo medio en segundos después de algún momento inicial cuando principia el movimiento. Sea x, en pies, la distancia positiva medida hacia abajo desde el punto de equilibrio. Suponemos que el movimiento de B se realiza completamente en una línea vertical, de tal forma que la velocidad y la aceleración  están dadas por la primera y la segunda derivadas de x con respecto a t.

Además de la fuerza proporcional al desplazamiento, habrá en general una fuerza retardataria causada por la resistencia del medio en el que el movimiento se lleva al cabo o por la friccion. Aquí estamos interesados solamente en aquellas fuerzas retardatarias que pueden considerarse como un termino aproximadamente proporcional a la velocidad. Esto es debido a que restringimos nuestro estudio a problemas que involucren solo ecuaciones diferenciales lineales. La contribución de las fuerzas retardatarias a la fuerza total actuando sobre B la designaremos por el termino de bx’(t), en el que b es una constante que debe ser determinada experimentalmente para el medio en el cual tiene lugar el movimiento. Algunas fuerzas retardatarias comunes, tales como las proporcionales al cubo de la velocidad, conducen a ecuaciones diferenciales no lineales a las cuales no es fácil aplicar el tratamiento de la transformada de Laplace.