martes, 26 de junio de 2012

4.3 Aplicaciones

En coordenadas rectangulares el radio de curvatura R de una curva y = f(x) en un punto general de ella esta dado por:

La normal en el punto se traza hacia el eje x. Se ve claramente en las figuras que la normal y el radio de curvatura en un punto cualquiera tiene la misma dirección si y y d²y/dx² tienen signos distintos, y tienen direcciones opuestas si y y d²y/dx²tienen el mismo signo.

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Considerese una esfera, sujeta a un extremo de una cuerda de goma, moviéndose hacia arriba y abajo, a sacudidas.

Si el otro extremo de la cuerda esta fijo y no se aplica a la esfera ninguna fuerza externa para conservar su movimiento una vez iniciado, y si la masa de la cuerda y la resistencia opuesta por el aire son tales que se pueden despreciar, la esfera se moverá con movimiento armonico simple.

X = A cos wt + b sen wt

Donde x es el desplazamiento de la esfera, en el instante t, desde su posicion de reposo o equilibrio.

Para el movimiento armonico simple:

a) La amplitud o desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio es ya q si dx/dt = 0, tg wt = a/b y x =

b) El periodo o numero de unidades de tiempo para una oscilación completa es 2¶/w seg. Ya que si t varia en 2¶/w seg los valores de x y dx/dt experimenta un cambio.

c) La frecuencia o numero del movimiento de oscilaciones por segundos es w/2¶ciclos/seg.

El movimiento es oscilatorio como ante, pero nunca se repite lo mismo. Como el factor de amortiguamiento e^-n disminuye cuando t aumenta, la amplitud de cada oscilación es menor que la de la precedente. La frecuencia es w/2¶ ciclos/seg.

Se presentan otros casos cuando la resistencia que se oponga al movimiento sea suficientemente grande.

Si, además de la resistencia, hay una fuerza externa actuando sobre la esfera, o se aplica un movimiento al sistema completo, se dice que se ha forzado el movimiento de la esfera. Si la función de forzamiento es armonica con periodo 2¶/λ, el movimiento de la esfera es el resultado de dos movimientos—un movimiento amortiguado libre que se va extinguiendo a medida que el tiempo aumenta y un movimiento armonico simple con el mismo periodo que la función de forzamiento.

VIGAS HORIZONTALES

El problema consiste en determinar la flexion de una viga que soporta una carga dada. Se estudian solamente las vigas que son uniformes, tanto en forma como en material, y es conveniente considerarlas como si estuvieran constituidas por fibras dispuestas longuitudinalmente. En la viga flexada que se muestra en la figura adjunta, las fibras de la mitad superior comprimidas y las de la mitad inferior alargadas; a ambas mitades las separa una superficie cuyas fibras ni están comprimidas ni alargadas. La fibra, que en un principio coincida con el eje horizontal de la viga, esta superficie de separación dispuesta según una curva. A continuación se trata de la obtención de la ecuación de esta curva.

VIBRACION DE UNA CUERDA

Considerese una cuerda de acero atada a un soporte, colgando hacia abajo. Dentro de ciertos limites elásticos la cuerda obedece a la ley de Hooke: si la cuerda es estirada o comprimida, su cambio en longitud será proporcional a la fuerza ejercida sobre la cuerda y, cuando la fuerza se quita, la cuerda retorna a su posición original y su longitud y otras propiedades físicas permanecen invariables. Hay entonces, asociada con cada cuerda, una constante numérica, la razón de la fuerza ejercida al desplazamiento producida por esa fuerza. Si una fuerza de una magnitud Q libras alarga c pies la cuerda, la relación:

Q = kc

Define la constante de la cuerda k en unidades de libras por pies.

Supóngase que un cuerpo B que pesa w libras es atado al extremo libre de la cuerda, y llevado al punto de equilibrio donde permanece en reposo. Inmediatamente que el peso B es sacado del punto de equilibrio E, el movimiento de B estará determinado por una ecuación diferencial y unas condiciones a la frontera asociadas.

Sea t el tiempo medio en segundos después de algún momento inicial cuando principia el movimiento. Sea x, en pies, la distancia positiva medida hacia abajo desde el punto de equilibrio. Suponemos que el movimiento de B se realiza completamente en una línea vertical, de tal forma que la velocidad y la aceleración están dadas por la primera y la segunda derivadas de x con respecto a t.

Además de la fuerza proporcional al desplazamiento, habrá en general una fuerza retardataria causada por la resistencia del medio en el que el movimiento se lleva al cabo o por la friccion. Aquí estamos interesados solamente en aquellas fuerzas retardatarias que pueden considerarse como un termino aproximadamente proporcional a la velocidad. Esto es debido a que restringimos nuestro estudio a problemas que involucren solo ecuaciones diferenciales lineales. La contribución de las fuerzas retardatarias a la fuerza total actuando sobre B la designaremos por el termino de bx’(t), en el que b es una constante que debe ser determinada experimentalmente para el medio en el cual tiene lugar el movimiento. Algunas fuerzas retardatarias comunes, tales como las proporcionales al cubo de la velocidad, conducen a ecuaciones diferenciales no lineales a las cuales no es fácil aplicar el tratamiento de la transformada de Laplace.

4.2.2 Utilizando la transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números positivos t >= 0, es la funciónF(s), definida por:

siempre y cuando la integral este definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definimos como:

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.

También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s>a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

es llamado el operador de la transformada Laplace.

Propiedades:

4.2 Métodos de solución para sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como:

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales será:

Ahora, la técnica más conveniente para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales lineales es recurrir al método de multiplicación de matrices. La fórmula para resolverlo está dada de la forma:

Aquí A es la matriz que contiene los términos coeficientes de toda la ecuación del sistema, C, que es una matriz columna compuesta de elementos no homogéneos y, finalmente, la matriz X es la que contiene los elementos desconocidos. Cuando la matriz C es igual a cero, entonces el sistema dado es un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales.

Todo el mundo está familiarizado con el hecho de que multiplicar unas cuantas matrices es mucho mejor que solucionar las ecuaciones algebraicas crípticas para cuatro variables desconocidas. Sin embargo, la técnica anterior nos da la solución en todo momento. Por lo tanto, tenemos que adoptar algunas otras técnicas para resolver las ecuaciones.

Dos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se llaman equivalentes en la situación de que ambos produzcan las mismas soluciones para variables desconocidas. Sin embargo, esto puede lograrse mediante aplicar algunas operaciones elementales como la multiplicación con una constante, la reordenación de las ecuaciones, etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales dado como,

x + y + z = 0

x – 2y + 2z = 4

x + 2y – z = 2

Las ecuaciones anteriores pueden resolverse mediante aplicar algunas operaciones elementales sobre las dos últimas ecuaciones y manteniendo la primera sin alterar. Esto nos ayudará a eliminar una de las variables y el resto de las ecuaciones pueden resolverse de forma simultánea para dos variables, lo cual es muy fácil de hacer.

x + y + z = 0

x – 2y + 2z = 4

y – 2z = 2

Ahora resta la dos ecuaciones a partir de la primera como,

x + y + z = 0

- 3y + z = 4

y – 2z = 2

Continuando con el procedimiento, multiplicamos la tercera ecuación con tres y lo sumamos a la segunda como

x + y + z = 0

- 3y + z = 4

- 5z = 10

Esto nos da el valor de z = −2. Al sustituir este valor en el sistema de ecuaciones podemos eliminar los términos que contienen z y finalmente, las ecuaciones han sido reducidas a dos variables únicas. Los valores de las otras dos variables pueden obtenerse mediante la solución de esas ecuaciones simultáneamente.

Por lo tanto, el valor de x es 4, y el de y es −2.

Otra técnica popular es la transformar la matriz aumentada AC de manera talque se convierta en triangular superior. Una vez más esto puede lograrse mediante realizar las operaciones elementales de transformación en las ecuaciones del sistema. Después que esto se ha hecho, es posible resolver fácilmente el sistema para las variables desconocidas.

UNIDAD 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

4.1 TEORIA PRELIMINAR

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Forma normal:

Supondremos que los coeficientes a_ij(t) y las funciones f_i(t) son continuas en un intervalo I. Si todas las f's son cero diremos que el sistema lineal es homogéneo.

Forma matricial

Vector solución

Un vector solución en un intervalo I es cualquier vector columna cuyos elementos son funciones diferenciables que satisfacen el sistema de EDOs en el intervalo I.

Comprueba que en (−¥, ¥)

Problemas de valor inicial (PVI)

sujeto a : X(t₀) = X₀ es un PVI.

Existencia de una solución única

Sean las componentes de A(t) y F(t) funciones continuas en un intervalo común I que contiene a t₀. Entonces podemos asegura que existe una solución única de nuestro sistema en I.

Principio de superposición

Sean X₁, X₂,…, X_k un conjunto de soluciones de un sistema homogéneo en I, entonces:

X = c₁X₁ + c₂X₂ + … + c_kX_kes también una solución en I.

también es una solución.

Dependencia e independencia lineal

Sea X₁, X₂, …, X_k un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c₁, c₂, …, c_k, no todas nulas, tales que

c₁X₁ + c₂X₂ + … + c_kX_k = 0

Para todo t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean:

n vectores solución de un sistema homogéneo en el intervalo I. Entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y sólo si, para todo t en el intervalo, el wronskiano:

jueves, 30 de junio de 2011

3.1.1 AREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION

Área bajo la grafica de una función continua

Sea $\mathrm{f}$ una función continua en el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , tal que $\mathrm{f}$ toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)$ ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre $a$ y $b$ de $\mathrm{f}$ y la denotamos por:

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ en $n$ intervalos de la misma longitud ( $\frac{b - a}{n}$ ). Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

$x_0 = a, \, x_1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b$

donde $x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i$ .

Para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo $\left( \, x_{i-1}, \, x_i \, \right)$ y cuya altura es de longitud $\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right)$ .

Haciendo esto para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ , terminamos con $n$ rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de $\mathrm{f}$ que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea $n$ mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a $\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$ .

Así, cuando $n = 2$ :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo $n = 4$ :

Llamemos $S_n$ a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

$S_n \longrightarrow \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$
Es decir, $S_n$ tiende a $ <pre>\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $ cuando el número de rectangulos, $n$ , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función $\mathrm{f}$ toma valores NO negativos en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ . ¿Que pasaría si $\mathrm{f}$ tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso $\mathrm{f} \ge 0$ seria aplicable al caso $0 \ge \mathrm{f}$ , pero ahora:

$S_n \longrightarrow -\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$ y el area sobre la grafica de la función es $-\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$ siendo la integral definida $\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$ NO positiva porque $0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)$ . $\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$