3.2 Longitud de una curva

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición:

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)²=(dx)²+(dy)², de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Definición:

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

3.3 CALCULO DE VOLUMENES SOLIDOS DE REVOLUCION Autocad

Evaluacion Parcial

Por medio de la presente su evaluacion solo corresponde a los integrantes Juarez Mora, Rosas Suarez, y Garcia  Trejo y tambien Rafael Brito el 98% 
No se tomara encuenta ala compañera Ibañez Leon. Calificacion NA
Atentamente

Ing. Enrique Marquez.

4.1SERIE MATEMATICA 4.1.1finita 4.1.2 infinita criterio de D'Alembert y criterio de Cauchy

4.1 SERIE MATEMATICA

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n comodonde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si  no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algun .

4.1.1 FINITA

En matemáticas la palabra sucesión se utiliza en un sentido casi igual que en el lenguaje ordinario. Cuando nos referimos a una "sucesión de eventos" queremos decir que los eventos ocurrieron en un cierto orden, primero uno, después otro, etc.

Se define como una función cuyo dominio son los enteros positivos.
Los números del contra dominio de una función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.
Aunque es una función suelen denotarse   mediante subíndices; Puesto que podemos listar los enteros 1, 2, 3,... podemos de igual manera listar una sucesión f(1), f(2), f(3), f(4), …

4.1.2Criterio de d'Alembert

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.

Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de 

se obtiene un número L, con los siguientes casos:

SI converge.

SIdiverge.

Si L = 1, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
sea :
Tal que:

• f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
• f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:

• L < 1 la serie converge
• L > 1 la serie diverge
• L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo:

sea:

clasificar

b) tiende a cero conforme crece n (porque el factorial siempre es mayor)

c) Aplicando D'Alembert:

y como L < 1, la serie  converge.

Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entoncesconverge si y sólo si

es infinita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

converge si y sólo si la integral

converge.

4.1.1 Finita

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como  

donde n es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,      .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si    no existe o si tiende a infinito; puede converger si 

Serie finita

x_i = 0 para todo i > n y y_i = 0 para todo i > m. En este caso el producto de

Cauchy de   

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita

§  Primer ejemplo. Para alguna      

                 por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente    se ha demostrado que   

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo   

Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo, por lo tanto el producto de Cauchy

                               fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica 

13/06/11 4.2 Serie numérica convergencia

SERIES NUMERICAS.

1. Convergencia.

Si {an} es una sucesi´on de numeros reales, se define la serie de termino general an y

se escribe

P1

n=1 an como:

1X

n=1

an = lim (a1 + · · · + an).

Si este l´ımite de la n-´esima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es

convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.

2. Convergencia absoluta.

Se dice que la serie

P

an es absolutamente convergente si la serie

P

|an| es convergente.

Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenaci´on suya tambi

´en lo es y tiene el mismo valor.

Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no

absolutamente convergente.

3. Propiedades.

• El car´acter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un

n´umero finito de sus terminos.

• Para que la serie

P

an converja es necesario que lim an = 0.

• Si las series Pan y Pbn convergen, entonces: Pan + bn y P_an, con _ 2 R,

tambien, teniendose:

X

(an + bn) Xan +Xbn yX_an = _Xan.

4.3 Serie de potencias

Serie de potencias

Es una serie de ecuaciones que tiene la forma

a0 + a1 (x-a) + a2  (a-x)^2 + ……… an (x-a)^n + ……….

A esto se le llama serie de potencias, aquí las constantes a0, a1…….., an……., se llaman también los coeficientes de la serie. Esta serie está dispuesta según las potencias crecientes del binomio x-a.

Cuando a=0, tenemos una serie de potencias de x que es un caso particular de la serie.

Para determinar el dominio de convergencia de la serie sustituimos en esta ecuación la variable

x – a =X

Después de la sustitución la ecuación toma el siguiente aspecto:

a0 + a1X + a2X^2 +………+ anX^n +…….,

Es decir hemos obtenido la serie de potencias de X.