4.1SERIE MATEMATICA 4.1.1finita 4.1.2 infinita criterio de D'Alembert y criterio de Cauchy

4.1 SERIE MATEMATICA

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n comodonde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si  no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algun .

4.1.1 FINITA

En matemáticas la palabra sucesión se utiliza en un sentido casi igual que en el lenguaje ordinario. Cuando nos referimos a una "sucesión de eventos" queremos decir que los eventos ocurrieron en un cierto orden, primero uno, después otro, etc.

Se define como una función cuyo dominio son los enteros positivos.
Los números del contra dominio de una función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.
Aunque es una función suelen denotarse   mediante subíndices; Puesto que podemos listar los enteros 1, 2, 3,... podemos de igual manera listar una sucesión f(1), f(2), f(3), f(4), …

4.1.2Criterio de d'Alembert

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.

Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de 

se obtiene un número L, con los siguientes casos:

SI converge.

SIdiverge.

Si L = 1, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
sea :
Tal que:

• f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
• f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:

• L < 1 la serie converge
• L > 1 la serie diverge
• L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo:

sea:

clasificar

b) tiende a cero conforme crece n (porque el factorial siempre es mayor)

c) Aplicando D'Alembert:

y como L < 1, la serie  converge.

Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entoncesconverge si y sólo si

es infinita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

converge si y sólo si la integral

converge.